高中数学解题思想方法一、配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且需要“凑（拆）”而“配”。

Ⅰ、再现性题组：

1. 在正项等比数列{a_n}中，a₁a₅+2a₃a₅+a₃a₇=25，则a₃＋a₅＝_______。

2. 方程x²＋y²－4kx－2y＋5k＝0（k∈R）表示圆的充要条件是_____。

A.或k>1　　　　 C. k∈R 　　　　　　 D. k＝或k＝1

3. 已知sin⁴α＋cos⁴α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1　　　　　　　　　　 B. －1　　　　　　　　　 C. 1或－1　　　　　 D. 0

4. 函数y＝log_0.5 (－2x²＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, ] 　 B. [,+∞) 　　　　　　　 C. (－,] D. [,3)

5. 已知方程x²+(a-2)x+a-1=0的两根x₁、x₂，则点P(x₁,x₂)在圆x²+y²=4上，则实数a＝_____。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A. 2 　　　　　　 B.　　　　　　　　　 C. 5 　　　　　　　　　 D. 6

【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

例2. 设方程x²＋kx＋2=0的两实数根为p、q，若()²+()²≤7成立，求实数k的取值范围。

【解】 由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,

()²+()²＝＝＝

＝≤7，

解得－≤k≤ 。

又 ∵p、q为方程两实根， ∴ Δ＝k²－8≥0

∴k的取值范围是：－≤k≤－2 或者2≤k≤

【注】 实系数一元二次方程问题，注意Δ，恰当运用韦达定理；由已知的不等式联想到配方，表示成p＋q与pq的组合式。

例3. 设非零复数a、b满足a²＋ab＋b²=0，求()²⁰⁰¹＋()²⁰⁰¹。

【分析】 对已知式可以联想：变形为()²＋＋1＝0，则＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)²＝ab…。代入所求式即得。

【注】 配方，简化表达式；巧用1的立方虚根，计算高次幂；活用ω的性质。

【另解】 解出＝…后，用三角形式完成后面的运算：

Ⅲ、巩固性题组：

1.　　 函数y＝(x－a) ²＋(x－b) ² （a、b为常数）的最小值为_____。

A. 8 　　　　　　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　 D.最小值不存在

2.　　 α、β是方程x²－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) ²+(β-1) ²的最小值是_____。

A. － 　　　　　 B. 8 　　　　　　　　　　 C. 18 　　　　　　　　　 D.不存在

3.　　 如果|x|≤,那么函数f(x)＝cos²x＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文)

A. 　　　　　 B. － 　　　 C. －1 　　　　　　　 D.

4.　　 椭圆x²－2ax＋3y²＋a²－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。

A. 2 　　　　　　　　　 B. －6 　　　　　　　　 C. －2或－6 　　　 D. 2或6

5.　　 化简：2＋的结果是_____。

A. 2sin4 　　　　　　　 B. 2sin4－4cos4 　　 C. －2sin4 　　　　 D. 4cos4－2sin4

6. 设F₁和F₂为双曲线－y²＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂＝90°，则△F₁PF₂的面积是_________。

7. 若x>－1，则f(x)＝x²＋2x＋的最小值为___________。

8. 设二次函数f(x)＝Ax²＋Bx＋C，给定m、n（m2 [(m+n) ²+ m²n²]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B²＋C²＝0 。

①　 解不等式f(x)>0；

② 是否存在实数t，使当x∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。

9. 设s>1，t>1，m∈R，x＝log_st＋log_ts，y＝log_s⁴t＋log_t⁴s＋m(log_s²t＋log_t²s),

①　 y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；

②　 关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。