第六届“希望杯”全国数学邀请赛高一第二试

班级 姓名

一、选择题

1、设是定义在R上的函数，则函数与的图象一定关于---------------------------------------------------------------------------------------（ ）

（A）轴对称 （B）直线对称（C）原点对称 （D）直线对称

2、二面角的大小为，直线，与所成的角为，则---------（ ）

（A） （B）

（C）当时，；当时，。

（D）与的大小关系不确定

3、如果函数有反函数，则方程（是常数）--------------------（ ）

（A） （A） 有且仅有一个实根 （B）至多有一个实根

（C）至少有一个实根 （D）实根个数不少于2

4、当时，以下各式中一定成立的是--------------------------------------（ ）

（A） （B）

（C） （D）

5、过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC的中点E、F作一个截面，使截面与底面ABCD所成的角为45⁰，则此截面的形状是--------------------------------------（ ）

（A） （A） 三角形或五边形 （B）三角形或六边形

（C）六边形 （D）三角形或四边形

6、如果函数有反函数，则以下命题中正确的是---------（ ）

（A）若是增函数，则是减函数

（B）若与的图象有公共点，则公共点必在直线上

（C）若的图象与直线没有公共点，则与的图象也没有公共点

（D）若与的图象没有公共点，则与的图象也没有公共点。

7、已知，，，，则的大小关系是------------（ ）

（A） （B） （C） （D）

8、平面、所成的锐角为40⁰，过空间中一个定点P作与、所成的角都等于80⁰的平面，这样的平面有且仅有-------------------------------------------------------（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

9、函数--------------------------------------------------------------（ ）

（A） （A） 是非单调函数，没有反函数 （B）有反函数，且反函数是增函数

（C）有反函数，且反函数是减函数 （D）有反函数，且反函数是非单调函数

10、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点A关于直线BD₁、A₁C的对称点分别为P、Q，则P、Q间距离等于----------------------------------------------------（ ）

（A） （B） （C） （D）

二、填空题

11、为得到函数的图象，可以通过对函数的图象进行适当变动得到，这种变动可以是沿 轴向 平移 个单位。

12、如果，那么的取值范围是 。

13、当时，函数的最大值为2，则 。

14、已知函数，且，则 。

15、若，且，则的取值范围是 。

16、平行四边形ABCD的边长AB=2，AD=，，M、N分别是AB、CD的中点，以MN为棱，将此平行四边形折成60⁰的二面角B-MN-A，得到一个三棱柱ABM-DCN，则此棱柱的侧面积等于 。

17、如右图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，高为，则A点到平面A₁C₁B的距离为 。

18、二面角的大小为135⁰，且，，ABBC，BCCD，且AB=BC=1，CD=，则二面角A-BD-C的大小为 。

19、轴上有一点P，如果函数的图象上恰有三个点与P点等距离，那么实数的取值范围是 。

20、过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成角为75⁰，这样的截面共可作出 个。

三、解答题

21、正方形ABCD的边长为3，E在AB边上，且AE=1，甲、乙两人做如下游戏：甲先在线段BE上选一点X，然后乙在BC边上选一点Y，再将此正方形沿DX、DY折起，使A、C重合于A^‘点。甲力争使A^’D与平面DXY所成角尽可能小，乙力争使这个角尽可能大。如果两人都采取了正确的策略，游戏停止后，求A^’D与平面DXY所成角的正切值，并求此时X、Y点的位置。

22、函数是偶函数，且是周期为2的周期函数。当时，，在的图象上有两点A、B，它们的纵坐标相等（A点在B点的左边），横坐标都在区间上，定点C的坐标为，其中，求面积的最大值（用表示）。