第六届“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试

班级 姓名

一、选择题

1、已知集合，，则写成区间形式为----------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

（A） （B）

（C） （D）

2、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各面的对角线中与AD₁成60⁰的条数是-----------（ ）

（A）4 （B）6 （C）8 （D）10

3、若，则的值-----------------------------------（ ）

（A） （A） 等于1 （B）等于0

（C）可能为1，也可能为0 （D）可能是0，1以外的数

4、设，，，且，，则S为-------------------------------------（ ）

（A） （B） （C） （D）

5、将锐角A为60⁰，边长为的菱形ABCD沿对角线BD折成二面角，已知，则AC、BD之间的距离的最值为-------------------------------（ ）

（A）， （B），

（C）， （D），

6、将化简后，结果是-----------------------------------------------------（ ）

（A） （B） （C） （D）

7、已知，则的值-----------------------------------------（ ）

（A） （A） 不确定，可在内取值（B）不确定，可在内取值

（C）确定，等于1 （D）确定，等于1 或-1

8、已知方程的实根为，的实根为，的实根为，则的大小关系是-------------------------------------------------------------（ ）

（A） （B） （C） （D）

9、是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为2，则等于-----------------------------------（ ）

（A）1或0 （B）1或-1 （C）0 （D）1

10、已知直二面角，直线平面，直线平面，且与不垂直，与不垂直，那么------------------------------------------------------------------------（ ）

（A）与可能垂直，但不可能平行（B）与可能垂直，也可能平行

（C）与不可能垂直，但可能平行（D）与不可能垂直，但不可能平

二、A组填空题

11、若，，，则 。

12、函数的最大值为 。

13、设在长方体中，一对角线与过其一个端点的两条棱的交角各是60⁰和45⁰，则此对角线与过其同一个端点的第三条棱的交角为 。

14、设函数是周期为4的周期函数，且在内，又是单调递减的奇函数，则、、、从小到大的顺序为 。

15、正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线A₁C与底面ABCD成30⁰角，则截面A₁BCD₁与底面ABCD所成角的正切等于 。

16、函数的定义域为R，则实数的取值范围是 。

17、已知二面角的大小为60⁰，，，且，，，则AD的长度为 。

18、函数的反函数为，则 。

19、方程的解集为 。

20、正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，F是BC边上的一动点，将△ADE及△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C重合于A^‘，则A^’点到平面DEF的距离的最大值为 。

三、B组填空题

21、若幂函数的图象与轴，轴无交点，且图象关于原点对称，则的取值范围为 。

22、已知函数的图象与轴恰有三个交点，则这三个交点的坐标为 。

23、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为，则B₁C与平面A₁DC₁的距离为 。

24、设，且满足，则的最小值为 。

25、函数的值域是 。

26、设，且当时，，则的取值范围是 。

27、设函数，函数适合，则 。

28、R上定义的函数，任何实数都有：，，，则 。

29、已知四面体ABCD中，P，Q，R分别是棱BC，CD，AD上的点，且BP=2PC，CQ=2QD，DR=RA，则A，B两点到过P，Q，R的平面的距离之比是 。

30、正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面的边长及高都是2cm，过AB作一个截面，截面与底面ABC成60⁰角，则截面的面积为 。