第五届“希望杯”全国数学邀请赛高一第二试

班级 姓名

一、选择题

1、若，，则-----------------------------------------（ ）

（A） （B） （C）或 （D）为一切非1的正数

2、当时，关于的方程的实根的个数是-----------（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

3、在正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，沿MN把这个正方形纸片折成以MN为棱的二面角A-MN-C，使折后的锐角ÐBMC的正弦值为0.6，这时二面角A-MN-C的平面角是----------------------------------------------------------------（ ）

（A）90° （B）60° （C）45° （D）30°

4、若，，，，，则---（ ）

（A） （B） （C） （D）

5、不等式的解是-----------------------------------------------------------（ ）

（A） （B）

（C）或 （D）或

6、已知，则数的整数部分是----------------------（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）无法确定

7、设指数函数的反函数依次是，若，则与的图象的位置关系是--------------------------------（ ）

（A）关于直线对称 （B）关于轴对称

（C）关于轴对称 （D）关于原点对称

8、给定三个不同的平面，若，则与的位置关系是-----（ ）

（A） （B）∥ （C）或∥ （D）不确定

9、若，则可推知---------------------------（ ）

（A） （B）

（C）

（D）

10、已知集合，，则M到T的映射满足，那么这样的映射的个数是------------------------------------（ ）

（A）7 （B）5 （C）3 （D）1

二、填空题

11、若，则 ， 。

12、一个正三棱柱的各个面所在的平面将空间分为个部分，则= 。

13、若，则 。

14、若实数满足，则= .

15、已知为锐角，，若，则的取值范围是 。

16、，则的值为 。

17、设，A=，B=，C=，D=，则在A、B、C、D中最大的一个是 。

18、若函数，则 。

19、满足条件的函数形成一个集合M，其中，且，则函数与集合M之间的关系是 。

20、定义域为R的函数，对任何都有，则 。

三、解答题

21、如图，正方形ABCD的边长为，DG=，开始时Q与B重合，动点P与Q相距为，它们向上沿着正方形的边，经C等速运动到P与G重合。以记点P到点B的路程，试写出这个运动过程中，DPAQ的面积与的函数关系，并求出的最小值。

22、在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=，BC=，CC₁=，过BD₁的截面的面积为S，求S的最小值，并指出当S取最小值时截面的位置（即指出截面与有关棱的交点的位置）。